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Hemos hablado de cómo los inventores del cálculo infinitesimal (Leibniz entre ellos) concibieron la circunferencia como un polígono de infinitos lados. Esto se refiere precisamente a un intento de cuadrar superficies curvas, esto es, de reducir figuras curvas a figuras rectas, cuyas medidas son más fáciles de calcular. Se trata de inscribir, primero, el cuadrado en el círculo. Más adelante, se inscribe un polígono con el doble de lados que el cuadrado, es decir, con ocho lados, todos iguales. Luego uno de dieciséis lados. Así se va aproximando el área del círculo. El resultado sólo sería exacto si el polígono tuviera infinitos lados.
Perillán
Hace 46 minutos
38 comentarios:
Hay que tener cuidado con este tipo de aproximaciones. Según para lo que se quiera hacer son legítimas, pero para otras no.
Por ejemplo, si queremos construir un cercado para un recinto circular, necesitaremos conocer su perímetro. Para conocerlo, una primera aproximación sería la del perímetro de un cuadrado instrito en la circunferencia. El del octógono sería una aproximación aun mejor. El perímetro del "dieciseisógono" (no recuerdo ahora como se diría el palabro) más todavía, y así, poco a poco, iríamos obteniendo una serie de números que nos irían aproximando cada vez más al perímetro de la circunferencia, con lo que podríamos construir nuestra cerca.
Pero a lo mejor no queremos construir una cerca, a lo mejor lo que queremos es por ejemplo recubrir las esquinas de nuestra figura para evitar que alguien al tropezar con ellas se pueda hacer daño. El cuadrado tiene 4 esquinas, así que nos harían falta 4 cubiertas. El octógono tiene 8, y así... pero para nuestro recunto circular, no nos hará falta ninguno.
Por otro lado, las circunferencias en acto no existen.
Herodoto,
Discrepo. Para un infinitógono necesitarás infinitas esquineras para no hacerte daño.
Irichc,
¿No teníamos por ahí una entrada sobre la Monadología de Leibniz?
Siento preguntarlo aquí pero es que llevo un rato buscándola, porque me pareció haberla visto un día y no la encuentro. Aunque, enlazando con el tema de aquí, puede ser que cuando las cosas tienden a infinito, se pierden con mayor facilidad.
Emilio, para un infinitógono, tal vez, sea eso lo que sea. Para una circinferencia, no.
Herodoto:
Las circunferencias en acto existen como representaciones intelectuales. Y si mis representaciones existen, entonces también lo representado en ellas.
Emilio:
La entrada en la wikipedia española sobre la monadología la escribí yo hace tiempo, si te sirve de algo.
Las circunferencias en acto existen como representaciones intelectuales.
Si entiendes así la palabra "acto", entonces te concedo que el infinito efectivamente existe en acto.
Más aun, no hace falta dar ese rodeo. Es inmediato.
No lo has perdido, lo has invertido. Gracias por tu inteligente y esmerada crítica.
Veo que quedé un poco por debajo de "Gordita linda".
Daniel
Borré mis comentarios, porque pensándolo mejor, no tengo porqué
poner fotos que molesten innecesariamente a alguien.
Hola, simbol.
Respeto tu criterio.
¿Es un infinitógono una circunferencia? Una pregunta similar: ¿0,999... es igual a 1?
Irichc, si tenemos en cuenta que la única existencia de los conceptos matemáticos consiste en ser pensados en acto por una mente inteligente, entonces no hay manera de pasar de un infinito potencial a un infinito actual por adición sucesiva, siempre quedaremos al nivel de lo finito. Pero: podemos FINGIR que hemos completado el proceso del infinitógono (aunque no pueda completarse) y así tenemos un círculo; dígase lo mismo con la igualdad entre 0,999... y 1. Esta ficción es útil en matemáticas, bienvenida sea, pero el infinito actual es inexistente como tal: sólo fingimos que un infinito potencial es completado porque se lo engloba o encierra con un número que no pertenece a la serie (el 1 respecto a 0,999… y la circunferencia respecto al infinitógono). Pero hasta ahora nadie ha sido capaz de decirme cómo se puede completar una serie que de por sí no tiene fin.
Por otra parte, si tomamos el axioma de la extensionalidad, de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, que dice “que dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos”, vemos que es contradictorio afirmar que 0,999… = 1, pues el 1 contiene a 0,999…, pero lo contrario es falso, pues el 1 no está contenido en 0,999…, ergo, 0,999… y 1 no son iguales. Aplíquese lo mismo a la circunferencia y al infinitógono: la primera incluye al segundo, pero el infinitógono no incluye a la circunferencia, ergo, son diferentes.
¿Es un infinitógono una circunferencia?
No. el infinitógono, de existir, no tendría "curvatura" en ninguno de sus puntos, pues todo él estaría formado por líneas rectas (en rigor, tendría curvatura cero salvo en sus vertices, en los que no estaría definida)
La circunferencia, en cambio, tiene la misma curvatura en todos sus puntos, y su valor es 1/r
¿0,999... es igual a 1?
verás, "0,999..." no es un numero, es una expresión que apunta a un numero, pero al numero que tu quieres apuntar solo lo podrías conseguir si fueras capaz de escribir infinitos nueves. No es el caso. La expresión que pones, para escribirla de un modo riguroso, sería el limite cuando n tiende a infinito de la serie Sum{n=1 a infinito} 9/(10^n)
Eso sí, es uno. Facil de demostrar mediante cálculo básico.
packer, despues de leerte me he dado cuenta de que te había interpretado al revés, creí que tu apuntabas a que la respuesta a ambas preguntas era sí. Estoy de acuerdo contigo salvo en un punto: la analogía no me parece del todo correcta.
Dark, para generar una circunferencia sólo es necesario un radio que rote 360 grados sobre el mismo eje. No hace falta ir adicionando ángulos al polígono hasta llegar al infinitógono, ya que ello escapa a nuestras posibilidades. La circunferencia es un infinitógono por su propia definición, donde cada punto es un lado. Si entre punto y punto cupiera un espacio (si hubiese, pues, un número finito de puntos), una recta podría ocuparlo y unir a ambos, formando un lado extenso y un ángulo menor. Por tanto, puesto que existe la circunferencia como representación intelectual clara y distinta, existen infinitos puntos en acto. Y existe el infinito en acto.
Digámoslo de otra manera: la circunferencia debe tener o infinitos ángulos o ninguno. Si no tiene ninguno, carece de área. Pero esto es absurdo, luego tiene infinitos.
Una circunferencia con menos que infinitos ángulos no tendría la forma de la circunferencia. Ésta, por cierto, no depende de la imaginación, sino de definiciones objetivas, según Euclides.
Las consecuencias del infinito en acto son cruciales para la monadología. Si existe un infinito en acto así demostrado, entonces existe lo infinitamente pequeño. Si existe lo infinitamente pequeño, no existe lo infinitamente duro (el átomo clásico). Si no existe lo infinitamente duro, el sujeto de una acción no puede ser físico, si ha de ser también unitario ("sujeto" y no "sujetos").
Irichc, pongo mis comentarios en negrita entre los tuyos:
Dark, para generar una circunferencia sólo es necesario un radio que rote 360 grados sobre el mismo eje. No hace falta ir adicionando ángulos al polígono hasta llegar al infinitógono, ya que ello escapa a nuestras posibilidades. OK
La circunferencia es un infinitógono por su propia definición, donde cada punto es un lado. Acabas de decir que no se puede formar el infinito por adición y afirmas que se forma por “definición”… pero el poder de las definiciones no es infinito, se topa con el límite del principio de no-contradicción; la contradicción consiste en considerar series indefinidas como completas, pues esas series sólo existen en la mente limitada que las piensa, y cuando deja de pensar en ellas simplemente dejan de existir, pero siempre en un punto finito de la serie; que esas series indefinidas se den entre límites no cambia en nada el problema, sólo confunde, pues pensamos que tomando los límites de la serie tenenmos un infinito en acto.
Si entre punto y punto cupiera un espacio (si hubiese, pues, un número finito de puntos), una recta podría ocuparlo y unir a ambos, formando un lado extenso y un ángulo menor.
Los matemáticos afirman el infinito actual como presupuesto del infinito potencial, y el hecho de poner puntos entre los puntos no implica que haya un n° finito de puntos, sino que “descubrimos” o “señalamos” sucesivamente los puntos del infinito actual, pero sin nunca alcanzarlo; así no podría ponerse un lado entre un punto y otro sencillamente porque el proceso de poner un punto entre dos no puede terminarse, es indefinido. La diferencia de mi posición con la que acabo de señalar es que pienso que el infinito actual no es más que una ficción de concepto, pues es contradictorio en sí mismo, para bajo ese nombre se esconde en realidad un proceso indefinido, que no tiene fin mientras lo pensamos, y que por razones prácticas consideramos completo, pero en realidad no lo es.
Por tanto, puesto que existe la circunferencia como representación intelectual clara y distinta, existen infinitos puntos en acto. Y existe el infinito en acto.
¿ Representación intelectual clara y distinta? Si observas una circunferencia gigante a kilómetros de distancia te parecerá una representación clara y distinta, pero si te acercas verás que es una figura con un cierto n° de ángulos, pero la distancia produjo la ilusión de que era una circunferencia perfecta. Niego que tengamos una representación intelectual clara y distinta del infinito (aplicada al infinitógono en este caso), sólo tenemos una ilusión, una ilusión útil matemáticamente, pero una ilusión que da a lo indefinido una propiedad contradictoria con la indefinición: la completez.
Digámoslo de otra manera: la circunferencia debe tener o infinitos ángulos o ninguno. Si no tiene ninguno, carece de área. Pero esto es absurdo, luego tiene infinitos.
Antes has dicho que no hacía falta recurrir a la adición de ángulos para formar una circunferencia, tampoco hay que recurrir a ellos para calcular el área de la misma.
Una circunferencia con menos que infinitos ángulos no tendría la forma de la circunferencia. Ésta, por cierto, no depende de la imaginación, sino de definiciones objetivas, según Euclides.
¿Definiciones objetivas? La negación del quinto postulado de Euclides han dado lugar a dos geometrías no-euclídeas perfectamente consistentes. Dígase lo mismo del infinito: aunque le neguemos consistencia ontológica al concepto de infinito actual, eso no excluye que se lo pueda seguir usando por motivos prácticos, pero siendo conscientes que es una ficción de concepto. Los matemáticos hacen lo que les da la gana con las definiciones (axiomas).
Las consecuencias del infinito en acto son cruciales para la monadología. Si existe un infinito en acto así demostrado, entonces existe lo infinitamente pequeño. Si existe lo infinitamente pequeño, no existe lo infinitamente duro (el átomo clásico). Si no existe lo infinitamente duro, el sujeto de una acción no puede ser físico, si ha de ser también unitario ("sujeto" y no "sujetos").
Con las mónadas hemos topado Sancho (diría don Quijote). No me queda claro qué significa “duro”… supongo que significa “no-descomponible en partes” o “no-divisible”. Por lo de la “unidad de los actos” y el “sujeto” que posibilita esa unidad: nuestra experiencia psicológica nos remite a ese sujeto descrito con la palabra “yo”, y los actos que surgen del “yo” tienen en él su unidad. Creo que esto es posible por que el ser humano es un compuesto de alma y cuerpo; y siendo el alma no-divisible porque no es física, sólo las realidades espirituales (almas, Dios, etc) podrían ser consideradas mónadas. Pero es problemático proyectar nuestra experiencia de unidad (el yo) hacia las realidades exclusivamente físicas. A parte de que no considero demostrada la validez del concepto de infinito, no veo ningún problema en afirmar que no existe lo infinitamente duro, es decir, que la división de lo físico tiene un límite, un techo: eso implica que el concepto de “acción” y de “unidad de la acción” en la realidad son menos claros y distintos de lo que nosotros imaginamos, y que más bien hay que hablar de unidades y de sujetos en mutua relación (sistema). No veo dónde está el problema. Nuestros “sujeto” y “predicado” son aproximaciones a la realidad física, y sólo pueden considerarse totalmente exactos en el caso del yo humano (un materialista también negará esto). En fin, si he entendido bien, soy un monadista moderado, y tú serías un supermonadista (que ve mónadas incluso en las llamadas realidades físicas. Y no entro a preguntarte qué entiendes por “físico” porque si no se arma la de Dios es Cristo. Saludos.
Sobre el cálculo del área del círculo en función del radio, la circunferencia o el diámetro (sin recurrir a ángulos).
No me extraña compartir con uno lo que éste rechaza al segundo y compartir con el segundo lo que éste rechaza al primero. Es lo habitual.
Cuando hablamos de "círculo" o de "infinito" estamos tratando de conceptos y no de algo a lo que llegamos por una aproximación práctica. Y en todo sucede igual.
"Círculo" es el lugar de los puntos del plano que están situados a una distancia r de otro punto del plano llamado centro. Esa es la definición, tan impracticable en realidad como la de que un triángulo equilátero tenga tres lados iguales y sea impracticable que tracemos tres lados exactamente iguales.
Pero el concepto "igualdad" también es impracticable y, no obstante, el que dice que nunca dos cosas son exactamente iguales ya tiene un concepto de "igualdad". Del mismo modo, el que tiene un concepto de "círculo" ya tiene ese concepto distinto del de polígono de n lados al decir que un polígono de n lados nunca será idéntico a un círculo. O en el caso de infinito, cuando se dice que a cualquier número finito le sucede otro número finito, pero al infinito no.
Y lo curioso es que aquí llegamos a una versión del argumento ontológico para círculos pues de la posibilidad de la definición NO se sigue la existencia y de la inexistencia no se sigue que la definición no sea válida desde el punto de vista lógico.
La demostración del área del círculo implica infinitos pues o se basa en la suma de las áreas de triángulos inscritos que serían de 1/2. l.r, cuando los lados son infinitos, la altura coincide con el radio y el lado tiende a cero. (Piense d_p, que cuando el ángulo tiende a cero y el lado tiende a cero, la suma de infinitos "ceros" no es cero, sino la longitud de la circunferencia).
Uuuuy, me dejé medio argumento.
...
O se basa en las nociones de derivada e integral, que también implican el concepto de infinito y de límite.
Sursum corda dijo: Y lo curioso es que aquí llegamos a una versión del argumento ontológico para círculos pues de la posibilidad de la definición NO se sigue la existencia y de la inexistencia no se sigue que la definición no sea válida desde el punto de vista lógico.
Respondo: La "existencia" de un ente matemático consiste sólo en "ser concebido en acto por un ser inteligente": en este caso, la definición, si no es contradictoria, sí hace existir (=crea) el ente matemático; pero si es contradictoria, no puede existir ni siquiera como un contenido lógico. En el caso del infinito, lo que en realidad tenemos, es que se establecen ciertas equivalencias y las consideramos igualdades (por motivos prácticos), pero en realidad no lo son. Y finalmente, esa es la finalidad de las matemáticas: una finalidad práctica, no describir un mundo que existiría objetivamente por sí mismo independientemente de nuestro pensamiento.
Recuerde lo que decía del axioma de la extensionalidad de la axiomática de conjuntos Zermelo-Fraenkel: "Dos conjuntos x e y son iguales (lo que se representa por x = y) si y solo si contienen los mismos elementos”.
A pesar de esto todos los matemáticos repiten como loros: que 0,999... = 1.
¡Aunque el 1 contenga 0,999..., 0,999... no contiene al 1!
d_p:
Si la existencia del círculo sólo se refiere a la existencia de un concepto no contradictorio y no a la realización práctica o material de círculos, entonces el concepto de círculo es claro y no contradictorio y ya se lo he definido: "el lugar de los puntos del plano..."
Y no importa que usted repita que 0,9periódico (no se puede escribir el símbolo de periodo encima del 9, pero puede valer 0,99999... como le ponían en otro ejemplo para que lo vea mejor) no es IGUAL A 1. Ya le demostraron que lo es y no vale que esconda la cabeza.
x = 0,999...
10x = 9,999...
10x - x = 9x = 9,999... - 0,999... = 9
Por lo tanto
9x = 9
y
x = 0,999... = 1
Se me ocurre otra "contradicción de los matemáticos" antes de irme.
2 + 2 = 4
¡Pero cómo, si en la parte izquierda sólo hay doses y en la derecha un cuatro!
x = 0,999...
1 * x = 1 * 0,999...
1x = 0,999...
1x - x = 0,999... - 0,999...
0x = 0
Por lo tanto
x = 0/0
Por lo tanto tenemos que 0,999... no es igual a 1, sino igual a 0/0.
¿Seguimos jugando con las trampitas matemáticas?
Espero haber mostrado lo limitado de estas "pruebas" para resolver la cuestión.
Sigue sin responder a lo del axioma de la extensionalidad...
Jajaja
Sea x igual a cualquier número natural n. (Podemos poner r y sería cualquier número real R)
x = n
1 * x = 1 * n
1x = n
1x - x = n - n
0x = 0
Por lo tanto
x = 0/0
Por lo tanto tenemos que x no es igual a n, sea n el número que se desee, sino igual a 0/0.
Así que, según SU razonamiento, que usted no considera trampita matemática, todo número es igual a 0/0. Y la cosa no tiene que ver con 0,999... sino con otro asunto.
¡Fenómeno!
Lo que quería decir es que, el tema del infinito no puede resolverse con pruebas de ese tipo, pues según como se las toma dan un resultado u otro. Esas pruebas se basan en ciertos tipos de equivalencia, y son precisamente esas equivalencias que pongo en duda en la cuestión del infinito.
P.D: Sigue sin responder a lo del axioma de la extensionalidad.
d_p:
No vale que cuando se le demuestra una cosa se escabulla. Usted ha aportado una falsa prueba que ningún profesor de matemáticas le dejaría pasar, que es multiplicar por cero las dos partes de una ecuación.
Si no se ha dado cuenta, enseñe su prueba a un matemático.
Y yo le señalo que esa "prueba" funciona igual si en vez de 0,999... ponemos cualquier otro número. ¿Lo admite?
Ahora pasemos a su axioma preferido. Yo le contestaba que su pretensión es absurda y le respondía con humor al preguntar si será también absurdo que
2 + 2 = 4
al no haber los mismos elementos a ambos lados de la igualdad. ¿Es así como usted entiende la igualdad?
Usted no parece tener claro eso pues cuando se dice que
2 + 2 = 4
se está afirmando de manera sintética algo como
el número resultante de sumar dos más dos es el mismo que cuatro
Y el mismo, por cierto que multiplicar dos por dos, sin que la operación suma sea idéntica a la operación multiplicación. También es igual a dos elevado a la segunda potencia y tampoco tenemos ya aparentemente ni suma ni multiplicación, aunque en la base las operaciones son las mismas: adicionar una unidad a dos y luego otra unidad al resultado.
Así, 1 = 0,999... es una igualdad del mismo modo que
4 + 3 = 2 + 5
o que
e^(iπ) = -1
sin que se repita ni un solo signo a ambos lados de las igualdades.
Si usted prefiere, el conjunto de números resultantes de la operación de la derecha es idéntico al resultante de la operación de la izquierda.
sursum
La última ecuación que le mostraste a Paco, e^(iπ) = -1, de Euler, ha sido llamada por algunos "la mas bella formula matematica". De la manera mas sintética conecta tres de las mas importantes constantes en matemáticas: e, pi, y la raiz cuadrada de -1: i.
Paco, abandona tus trapacerías matemáticas.
Parece que Sursum tiene familiaridad con esta ciencia. ¿O me equivoco y es diletantismo? Conste que el que habla es abogado, no filósofo académico.
Como le debía un par de cuestiones a Paco, y viene un poco a cuento, aprovecho aquí, que el hilo aquel de Paco queda ya muy lejos. Con permiso, daniel.
1) ¿El axioma de la extensionalidad contradice que 1 = 0,999... (teniendo en cuenta que 1 contiene 0,999... pero no al revés)?
Primero, el axioma de extensionalidad habla de conjuntos, no de números, y menos de números reales. Es cierto que un número real se define como una secuencia de números racionales, pero una secuencia no es exactamente un conjunto. De hecho, varias secuencias distintas pueden definir el mismo número real. En cualquier caso, no es de aplicación este axioma.
Por ejemplo, estas tres secuencias de números racionales definen exactamente el mismo número real:
1)
1, 1, 1, 1, ... Secuencia infinita de números racionales 1.
2)
0.9, 0.99, 0.999, ... donde cada término tiene la forma 1 – (1/10^n) con n= 1, 2, 3, ...
3)
1.1, 1.01, 1.001, ... donde cada término tiene la forma 1 + (1/10^n) con n= 1, 2, 3, ...
NOTA: a^b es a elevado a b.
Las tres sucesiones son sucesiones de Cauchy de números racionales, por tanto cada una de ellas define un número real, y en este caso, el número es el mismo, no son tres números diferentes, pues de serlo, ¿cuales serian?
Si tienes ganas, aquí tienes la construcción de los números reales. No es fácil de seguir, pero no he visto una forma más sencilla, en la wiki no aparece, aunque da la idea.
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/ap02_numeros_reales.php
En esencia, el límite de una sucesión de números racionales se considera la sucesión al completo (proceso de compactación), y define un nuevo número que, en ocasiones, no es racional, sino irracional. Ese es el proceso que define ahí. Una consecuencia es el teorema del orden que dice:
Todo conjunto no vacío y acotado superiormente (inferiormente) de números reales tiene supremo (ínfimo).
También ahí tienes la definición de la relación “ser menor que”, de análoga manera se definen las relaciones “ser mayor que” y “ser igual que”. Esta última es la definición correcta de la igualdad entre números, que no es la igualdad entre conjuntos definida en el axioma de extensionalidad, y que tú confundes. Esa definición, única, es también la que corresponde a la expresión verdadera “0,999... = 1”.
En el caso que nos ocupa, la sucesión 2 y la 3 tienen respectivamente supremo e ínfimo, ¿cuales son?, para calcularlo, podemos considerar las diferencias de las sucesiones 1) - 2), y también de las sucesiones 3) - 1), de acuerdo a como se define la igualdad entre números reales.
Resta de 1)-2), se hace término a término:
0.1, 0.01, 0.001, 0.001, ...
Resta de 3)-1), también término a término:
0.1, 0.01, 0.001, 0.001, ...
Curiosamente, son la misma sucesión, que además define al número real 0.
Por otra parte, tenemos una bonita reducción al absurdo. Es esta, las sucesiones 2 y 3 son idénticas, salvo un signo + en una y – en otra, pero iguales por lo demás. Si la 2 no define el número 1, entonces, la 3 tampoco, es impensable lo contrario. Pero entonces, la sucesión 2 corresponde al número 0,_9_ (recuerda, es la notación que me he inventado del 9 período), mientras que la 3 corresponde al número 0,000 ... 1 que consistiría en un 1 allá al final de infinitos ceros, y como este número es distinto del 1, o al menos eso dices tú, tenemos ..... curioso, tenemos que el infinito existe, pues si no existiera, la sucesión 3 definiría al 1, al igual que la 2, cosa que rechazas.
Así pues, elige o 0,999... = 1 o el infinito existe, no es posible negar ambas afirmaciones, aunque no hay inconveniente en afirmar las dos, pues el infinito existe, como concepto matemático bien definido, y un 1 al final de una secuencia infinita de ceros corresponde a la sucesión 1/n, que define al número 0 sin nigún tipo de problema.
También quedaba pendiente:
¿Cómo se "completa" la serie del n° Pi?
Existen varias formas, la más sencilla se debe a Leibniz, donde el valor pi/4 se define como la sucesión:
1, 1-1/3, 1-1/3+1/5, 1-1/3+1/5-1/7, 1-1/3+1/5-1/7+1/9
Es decir, el término n-simo de la sucesión es la suma desde uno hasta n
(-1^i) / (2i +1)
con i variando entre 1 y n. En cada sumando, en el numerador se alternan los signos, y en el denominador van apareciendo los sucesivos números impares.
No es posible completar pi con un periodo, pues es irracional, es lo que tú llamabas indefinido, aunque ya tienen un nombre propio, y no es necesario inventar otro. No es dificil demostrar que pi es irracional, y no puede ponerse como cociente de enteros:
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/numpi_lambert.htm
Por cierto, para finalizar insisto en que
1 = 1/3 x 3 = 0,_3_ x 3 = 0,_9_
No es ninguna trampa, es un proceso legítimo, pues cada paso está perfectamente definido, de acuerdo a la axiomática de los números racionales, ni siquiera es necesario utilizar la de los números reales. No es necesario inventarse nuevas definiciones de "igual" o de "equivalente".
Por cierto, la fórmula de Euler, a mi me gusta más en la forma:
e^(iπ) + 1 = 0
Es lo mismo, pero aparecen los 5 números más importantes de las matemáticas juntos.
Maestro Cuartero dijo: Primero, el axioma de extensionalidad habla de conjuntos, no de números, y menos de números reales. Es cierto que un número real se define como una secuencia de números racionales, pero una secuencia no es exactamente un conjunto. De hecho, varias secuencias distintas pueden definir el mismo número real. En cualquier caso, no es de aplicación este axioma.
Respondo: Vaya, Maestro Cuartero, ¿aplicando el Modus Tollens P.Q.M.D.L.G.? Por cierto bienvenido de nuevo al debate.
Supongo que no hace falta que le recuerde que la teoría de conjuntos se usa para constituir de forma rigurosa la serie de los números naturales, como explica la Wikipedia (hablando del axioma del infinito), así que es ridículo decir que no estamos hablando de números sino de conjuntos, cuando la teoría de conjuntos sirve para fundamentar las matemáticas de los números (cito):
Se observa que, de este modo, un número natural es un conjunto que contiene a todos los números naturales anteriores a él. El conjunto de números naturales queda de esta forma bien ordenado por la inclusión. Cualquier número natural de la forma n U {n} para algún n perteneciente a N se llama siguiente de n, y se representa por n + o por s(n). Mediante esta definición de N pueden probarse los axiomas de Peano, con lo que en ZF estos se convierten en teoremas (más exactamente, cuatro teoremas y un metateorema) sencillos:
Si la serie de los números naturales está a la base de los demás, y ésta está fundamentada con la teoría de conjuntos, no puede usted decir sin más: "En cualquier caso, no es de aplicación este axioma." Sí que es de aplicación, y acabo de justificar por qué
Por otra parte, es ilegítimo pretender solucionar la cuestión del infinito con números diferentes de los naturales cuando estos son la base de todos los números y lo que está en discusión es la validez del concepto de infinito aplicado a la serie de los naturales. Si la cuestión no se soluciona ahí no se puede pasar adelante, que es lo que usted hace cuando dice:
Por cierto, para finalizar insisto en que
1 = 1/3 x 3 = 0,_3_ x 3 = 0,_9_
No es ninguna trampa, es un proceso legítimo, pues cada paso está perfectamente definido, de acuerdo a la axiomática de los números racionales, ni siquiera es necesario utilizar la de los números reales. No es necesario inventarse nuevas definiciones de "igual" o de "equivalente".
Respondo: ¿Donde está la trampa? Muy sencillo: suponer que 0,_3_ es un número completo y que por tanto la multiplicación del mismo da otro número completo que sería 0,_9_ (que sería igual a 1).
Por supuesto que los matemáticos "definen" (P.Q.M.D.L.G.) 0,_3_ como un número completo, pero que esto esté "perfectamente definido" no significa que sea "perfectamente verdadero", pues ponerle un límite externo a una serie (un supremo) no significa hacerla infinita, sólo significa que mientras la pensamos no podemos ponerle fin pues nunca llegamos a un número máximo, lo cual es muy diferente. Como le decía en mi blog, Maestro Cuartero, la contradicción está al nivel del axioma, no de las deducciones que se siguen. Por eso no me sirven todas esas “pruebas” que presuponen de hecho el axioma del infinito, que es lo que está en discusión.
Es decir, que no hay forma de completar o tomar como un todo una serie que por sí misma no tiene fin, pero por "definición" (palabra cuasidivina en matemáticas) lo hacemos; ¿por qué? porque es útil para los cálculos matemáticos, y sí es así, bendito sea Dios, por mí ningún problema; pero esto no significa que desde un punto ontológico no reconozcamos el infinito como una totalidad ficticia, como una simple apariencia de totalidad que nos es muy útil dados los límites de nuestro conocimiento. Siento desmitificar así las matemáticas, pero son una creación humana que conlleva ciertos límites.
Concluyendo: si en la “prueba” 1 = 1/3 x 3 = 0,_3_ x 3 = 0,_9_ , el n° 0,_3_ es finito, entonces es evidente que la prueba no funciona. Ahora bien, si me muestra por qué mágico modo podemos abarcar totalmente una serie decimal que creamos nosotros mismos con nuestros cerebros y que por sí misma no tiene fin, entonces retiro todo lo dicho; hasta entonces, seguiré pensando que ” 1 = 1/3 x 3 = 1, pero que no hay una equivalencia decimal exacta, sino sólo aproximativa de 1/3, así que no hay una igualdad entre las dos formulaciones (1/3 y 0_3_) y por lo tanto el resultado final ( 1 = 0,_9_ ) es sólo una aproximación, no una igualdad.
Maestro Cuartero, teóricamente usted afirma las matemáticas como creación lingüística humana, pero en la práctica me da la impresión de que queda atrapado dentro de la deslumbrante mística de la exactitud matemática.
Irichc y resto de contertulios: creo que a partir de mañana no tendré Internet disponible, y lo lamento mucho. ¿Irichc, se te comió la lengua el gato? ¡Di algo, por tus mónadas! Estuve mucho tiempo esperando esta discusión.
P.D: Si Irichc y Maestro Cuartero me lo permiten voy a copiar estos últimos comentarios en los comentarios de mi blog donde hablamos del tema, así puedo completar la discusión.
Simbol dijo: Paco, abandona tus trapacerías matemáticas.
Respondo: Lacayo del sistema matemático, ¡rebélate! (esto no va sólo por ti).
Dame tiempo, Dark, que soy un poco lento para las abstracciones matemáticas.
Copia lo que quieras en tu blog, faltaría más.
d_p.
Parece que si usted no es capaz de recorrer con su imaginación una sucesión de números es que no es posible tal sucesión.
No se trata de que uno vaya poniendo nueves hasta llegar a un número que Usted considerel infinito sino de definiciones.
Usted tampoco comprende lo que es que Dios se infinito ni atemporal y sin embargo no se priva de decir que Dios es infinito y atemporal. Pues bien, ya le han demostrado que 1/3 es idéntico a 0,333... y que 0,999 es idéntico a 1 porque no se trata de llegar a base de añadir decimales sino de verificar lo que se define.
Darky,
Cópialo donde quieras, por supuesto.
Yo no te acusaré de trapacerias, simplemente creo que la ignorancia es muy atrevida, y como matemático poco instruido, haces afirmaciones incorrectas. Muchas.
Veamos, en última instancia, todo son conjuntos, si, pero eso no te da derecho a aplicar la igualdad conjuntista a todo tipo de objetos matemáticos. Eso es si como en un tribunal, para pleitear sobre la posesión de una propiedad, lo único que usas es la Constitución. No, lo que se debe usar es el Código Civil, pues aunque, en última instancia, esté sujeto a la Constitución, no es en ésta donde encontrarás los preceptos aplicables.
En ese sentido, la igualdad de conjuntos es la base para definir la igualdad entre naturales, pero es distinta, la igualdad entre naturales es la base para definir la igualdad entre enteros, pero es distinta, la igualdad entre enteros es la base para definir la igualdad entre racionales, pero es distinta, la igualdad entre racionales es base para definir la igualdad entre reales, pero es distinta, y en más casos todavía.
Por ejemplo, tomemos la igualdad entre enteros, y así, sabemos que 1 no es igual a 2, y que 2 no es igual a 4. Sin embargo, para la igualdad entre racionales, un racional es un par de enteros, el numerador y el denominador, pero tenemos que 1 / 2 = 2 / 4. Y ojo, no me vengas con chorradas de equivalencias, no, son iguales, porque son el mismo racional, es el MISMO elemento del conjunto de los números racionales.
¿Donde está la trampa? Muy sencillo: suponer que 0,_3_ es un número completo
Esto si es trapacería de las típicas tuyas, darky. ¿Números completos? Venga ya. ¿Cual es la categoría de los números completos y su correspondiente definición? Ya vale de chorradas y estupideces. Recuerda: Los números, en orden jerárquico son: Naturales, enteros, racionales, reales, complejos, ...
Hay más clases, con diferentes niveles jerárquicos, pero ¿completos? ¿definidos? ¿verdes? ¿estúpidos? ¿No piensas parar?.
Los matemáticos definimos 0._3_ muy bien, es el par (1,3) correspondiente a la fracción 1/3, ¿algún problema? No hay ninguna contradicción. Su representación decimal es infinita si, pero eso no es, como tú acostumbras a decir una cuestión ontológica, sino que depende de la base de representación, en este caso base 10, ponlo en base 9, y se acabó el problema. Ontológicamente, los racionales siempre tienen representación finita, a saber: Dos números enteros, por el contrario, los irracionales no; esa es la diferencia, cualquier otra consideración es vana. Por tanto, si niegas esto, dime con claridad y sin trampas: ¿el decimal periódico 3 es 1/3? ¿Son ontológicamente el mismo número? Entonces dime a qué decimal corresponde el racional 0._3_ teniendo en cuenta que todos lo racionales, TODOS, porque se definen así, y de eso no tenemos la culpa nadie, pues nadie tiene la culpa de que seamos coherentes y tú no, repito, todos deben ser obtenidos como el cociente de dos enteros.
Compruébalo: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
no hay forma de completar o tomar como un todo una serie que por sí misma no tiene fin, pero por "definición" (palabra cuasidivina en matemáticas) lo hacemos; ¿por qué? porque es útil
Si que la hay, y si, es por definición.
Como ya te dije, y espero terminar porque ya me aburre; si pones en duda los axiomas, estás en tu derecho, eso es válido. A tu cuenta va, entonces, probar que tu nuevo edificio no se cae, y más importante, que es útil. Ya te acepté, y te acepto que el infinito no es ontológico, depende de las definiciones y de los axiomas, que pueden ser cambiados, siempre que se haga bien.
Por el contrario, si aceptas los axiomas, no pones en duda su validez, pero pones en duda los resultados, cuestionando la corrección de las matemáticas elaboradas en los últimos 300 años, básicamente a partir de Leibniz y Newton, simplemente estás chiflado.
Siento desmitificar así las matemáticas, pero son una creación humana que conlleva ciertos límites.
No lo sientas, es así, no has descubierto la pólvora, pero no es por lo que tú dices.
usted afirma las matemáticas como creación lingüística humana, pero en la práctica me da la impresión de que queda atrapado dentro de la deslumbrante mística de la exactitud matemática.
Lo afirmo, si. Pero tú estás poniendo en duda la corrección de las matemáticas de finales del siglo XIX y principios del XX, y no es así, a ese nivel, esa corrección es total, completa, es cierto que las matemáticas fallan a apartir de ahí. De hecho, Hilbert, probablemente el mayor genio matemático que ha existido, daba por hecho que todo el trabajo estaba hecho a principios del siglo XX. Gödel y Turing le mostraron su error, pero no por estas chorradas tuyas, sino que es a partir de ahí donde empiezan los problemas, pero dudo que tú seas capaz de verlos, si insistes en no ver las cosas como son, y en esa pedantería divina de "como he demostrado el infinito no existe". Por reducción al absurdo, por supuesto.
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