Juan de París (Jean Quidort) niega que algo pueda ser necesario por otro, como el rayo por el sol, mediante este razonamiento: 

Si algo que no tiene el ser en sí y existe por otro (ens ab alio) existe necesariamente, obtiene su ser necesario por razón de una relación necesaria, como sucede con la conclusión de un silogismo respecto a sus premisas. Ahora bien, el principio de todo existir necesario es Dios, el ser necesario en sí mismo (ens a se). Sin embargo, no hay en Dios una necesidad de crear, ya que para que Dios estuviera necesitado debería darse un fin fuera de Dios establecido por un agente anterior a Dios, lo que va contra su propia noción y es, por tanto, imposible. Luego tampoco se da la relación necesaria exigida para que un "ens ab alio" exista necesariamente.

Asimismo, no soy capaz de concebir un efecto necesario que sea distinto de su causa. ¿En razón de qué cabría separarlos? Si fuera necesario que mi sombra siempre me acompañara, aun en ausencia de luz, mi sombra estaría tan íntimamente unida a mí como mi propio cuerpo o mi altura. Sería una propiedad inherente más que un efecto.

Por ello, no se dan verdaderos motivos para diferenciar a Dios del mundo si éste es un efecto necesario de aquél. No puede decirse que Dios no es material mientras que el mundo lo es, pues uno no se dará sin el otro, formando parte del mismo todo. Cualquier distinción que estipulemos entre ellos será puramente nominal.

Por ende, Dios no sería fundamento del mundo si el mundo es tan necesario como Dios. No hay grados en la necesidad: o se es necesario o no se es. Si, aceptando la tesis neoplatónica, Dios, coeterno con su emanación, no es el fundamento del mundo y es parte del gran mundo, es fácil, o más bien inevitable, llegar al dios de Spinoza.

Si algo es necesariamente finito, es omnímodamente finito, tanto en el espacio como en el tiempo. Porque, de no ser así, será y no será necesariamente finito, lo que es imposible, como lo es el que algo sea necesariamente circular y no lo sea siempre y en todos los respectos.

Que Aristóteles sostuviera que el mundo no es infinito en acto espacialmente pero sí temporalmente sin apreciar en ello contradicción se debe a que razonó de forma inductiva, como naturalista, y no de forma deductiva, como teólogo. Es decir, para Aristóteles el mundo no existe necesariamente pese a ser eterno, sino que es causado por un ser sin voluntad que actualiza el mundo. En este sentido, probar la creación ex nihilo es tanto como probar la naturaleza personal de Dios.

El precio de que el universo sea infinito en acto es que sea el ser de Parménides: un continuo indistinguible, sin partes ni multiplicidad, en el que nada se opone a nada, nada destaca sobre nada y nada fluye. Sintiéndolo mucho para los neoplatónicos y los ateos que creen tal cosa, éste no es nuestro universo, aunque prima facie sea un universo posible.

Además, si el universo no requiere comienzo, es su propia causa y no hay necesidad de Dios. Decir con Santo Tomás de Aquino que la existencia de la causa puede ser simultánea a la existencia del efecto, como lo serían la pisada y la huella que ésta deja en el polvo si ambas fueran eternas, conlleva disociar indebidamente lo eterno y lo necesario. Si algo no es necesario (y no lo es la huella si requiere la pisada) tampoco puede ser eterno, dado que tanto lo eterno como lo necesario no pueden no existir. Luego, si algo distinto a Dios es eterno, o bien Dios lo genera necesariamente, lo que hace de Dios un ser sin voluntad difícilmente distinguible del mundo, o bien es tan necesario como Dios, lo que nos conduce a la aporía de que haya dos entes necesarios y de que ninguno de ellos cause o necesite al otro, avalándose de esta manera el dualismo.

El infinito en acto no es un número, porque es todos los números, y es un número, porque todos los números participan de la unidad, que es el todo y es un número. En este sentido, es certera la teología negativa al señalar la inadecuación de los conceptos para definir a Dios.

El argumento de Algacel contra un pasado infinito en acto es en realidad bastante más sencillo que la elaboración que hice sobre él. Procede así:

El infinito en acto es algo que, por definición, lo tiene todo. Cuanto podía podía suceder, ha sucedido; luego no le falta nada. Sin embargo, si en el universo las esferas celestes orbitan en intervalos distintos, alternándose un ciclo par y otro impar, ¿diremos que las órbitas de un pasado infinito en acto son pares o más bien que son impares? Si son pares, les falta algo para ser impares; y si son impares, les falta algo para ser pares. Pero hemos convenido que nada puede faltar al infinito en acto, por lo que ambas opciones son imposibles. Si decimos, en cambio, que las órbitas totales son pares e impares, o ni pares ni impares, incurrimos en contradicción. Por tanto, la razón rechaza que pueda existir un pasado infinito en acto. 

Se da una tensión entre la noción de infinito como ausencia de fin y la de infinito como presencia de todo lo posible. Por la primera definición, es evidente que el infinito, al igual que la totalidad de números enteros, no es ni par ni impar. Por la segunda, es contradictorio que el infinito, debiendo estar en posesión de todo lo que es posible, no tenga la paridad ni la imparidad, que son posibles.

El Argumento de lo Numérico Ilimitado

I.

Decir que la realidad es múltiple y que no es numérica resulta contradictorio, ya que la multiplicidad presupone al número. Se sigue, pues, que es numérica.

Ahora bien, los números tienen límites y el infinito no, por lo que los números no son en sí mismos infinitos.

Luego, si la realidad es numérica y los números no son en sí mismos infinitos, sino que sólo pueden serlo como colecciones, cabe inferir que o bien la realidad no es infinita (es numérica y limitada) o bien que es finita e infinita (es numérica e ilimitada). 

Por tanto, si la realidad es infinita en acto, será finita por dentro, al estar constituida por números, e infinita por fuera, al carecer de comienzo y de fin, que es tanto como decir que será en sí misma finita y en sí misma -y no como colección- infinita. Dado que esto es absurdo, debe sostenerse que la realidad es finita.

Esta conclusión no aplica a Dios, que es al mismo tiempo numérico e ilimitado, pues la unidad absoluta no tiene límites. Dios puede serlo todo simultáneamente y en grado supremo sin contradicción. No así la realidad, cuya existencia misma exige que se den opuestos: lo que fluye y lo que no fluye, lo pasado y lo porvenir, lo que actúa y lo que padece.

Contémplese ahora lo siguiente: Lo finito presupone lo infinito porque, de no coimplicarlo, lo finito sería ilimitado y por ende infinito. Si sólo hubiera un número, y éste no podría ser otro que la unidad, que es el número cercenado de todo número, sería infinito, habida cuenta que el único fin de un número es el que le impone otro número.

Establecido que la realidad es finita y existe y que lo finito presupone a lo infinito, queda probada la existencia de un ser infinito no identificable con la realidad, al que llamamos Dios.

II.

El razonamiento anterior puede reformularse en estos términos equivalentes:

Los números pueden ser finitos en sí mismos e infinitos como colección, ya que el sujeto de la finitud o la infinitud es distinto en los dos supuestos, a saber, el número y la colección respectivamente. Sin embargo, la realidad no puede ser finita en sí misma e infinita como colección, puesto que no hay una colección de realidades, sino una sola realidad. Ahora bien, si decimos que el sí mismo de la realidad es ser una colección, nos contradecimos, toda vez que una colección es siempre colección de algo distinto a la colección, no una colección de sí misma. Y si afirmamos que el sí mismo de la realidad es no ser una colección, entonces o bien sostenemos que todo lo real es un continuo indistinguible (lo que es evidentemente falso) o bien nos vemos obligados a mantener que hay una realidad fuera del sí mismo de la realidad (lo que va contra la premisa de que la realidad no es una colección).

Por tanto, la realidad sólo puede ser:

1) Finita en sí misma.

2) Infinita en sí misma.

3) Finita e infinita en sí misma.

La tercera opción queda excluida por ser absurda.

La segunda opción es falsa, ya que la realidad es múltiple, por ser múltiple es numérica (toda vez que lo múltiple participa de la unidad) y por ser numérica no es infinita en sí misma, ya que ningún número es infinito en sí mismo.

Así pues, la realidad es necesariamente finita en sí misma. Siendo necesariamente finita, debe ser omnímodamente finita, esto es, tanto en lo espacial como en lo temporal. Siendo omnímodamente finita, tiene comienzo y no debe reputarse eterna.

El Argumento del Infinito Infragmentable

DEFINICIONES

Definición 1. Dios es el infinito en acto, causa del universo.

AXIOMAS

Axioma 1. Las propiedades de los números integrantes de la operación no se ven alteradas por las propiedades del resultado.

Axioma 2. El infinito no es un número.

Axioma 3. Toda sucesión causal de elementos discretos presupone el número, correlacionándose todo ente discreto con un valor numérico.

Axioma 4: El infinito en acto es indistinguible del todo.

PROPOSICIONES

Proposición 1: El infinito en acto no puede componerse de elementos discretos.

Demostración: Dada una supuesta sucesión infinita en acto de elementos discretos:

(a) Cada elemento de esta sucesión, por el Axioma 3, se correlaciona con un valor numérico.

(b) Sin embargo, para que esta sucesión sea infinita en acto, tendríamos que poder asociar un valor numérico infinito a al menos uno de estos elementos. Ahora bien, según el Axioma 2, el infinito no es un número. Por tanto, no podemos asignar un valor numérico infinito a ningún elemento discreto.

(c) Aunque, per impossibile, una suma infinita diera un resultado infinito, los sumandos, por el Axioma 1, mantendrían su naturaleza finita, por lo que dicho infinito no sería un infinito en acto, al no incluir a los sumandos y, por el Axioma 4, no poder identificarse con el todo.

(d) Si en una sucesión infinita en acto no hallamos que sus partes sean infinitas en acto ni que lo sea el todo, queda probado que tal sucesión es imposible.

Proposición 2: El universo se compone de elementos discretos.

Demostración: Ad absurdum, si no fuera así, el universo carecería de número, proporción o intervalos, por lo que excluiría todo orden y sería absolutamente incognoscible.

Proposición 3: El universo no es infinito en acto.

Demostración: Por las Proposiciones 1 y 2.

Proposición 4: El universo tiene comienzo y es causado por Dios.

Demostración: Por el Axioma 4, si el universo no es infinito en acto, según se establece en la Proposición 3, se sigue que el universo no es el todo. Si el universo no es el todo, debe coexistir con aquello que, junto al universo, constituye el todo. Si el universo coexiste con otro ente, el universo es anterior, simultáneo o posterior a él. No puede ser anterior, ya que de ser así el universo habría sido el infinito en acto en un momento anterior y habría dejado de serlo en un momento posterior, lo que es imposible. Tampoco puede ser simultáneo, ya que en este caso habría una discontinuidad entre dos elementos coexistentes cuya suma equivaldría al infinito en acto, conclusión que queda excluida por la Proposición 1, por la que se resuelve que el infinito en acto no puede componerse de elementos discretos. Por tanto, el universo ha de ser posterior a un ente que es su causa. Este ente, por el Axioma 4, es el infinito en acto, ya que lo fue todo antes de que el universo existiera y, tras su creación, lo es todo con el universo. Por la Definición 1, tal es Dios.

Si el infinito que constituye la serie infinita de pares, cuyo total arroja un número par, no convierte a dicha serie determinada en una serie indeterminada, cuyo total no arroja un número par ni impar, es correcto sostener que lo mismo sucederá en las series heterogéneas, donde se alternan números pares e impares, a pesar de que dicha indeterminación se dé en nuestra incapacidad de conocer el resultado total. Es decir, sabemos que la suma de todos los números pares, aunque sean infinitos, dará un número par, por más que no podamos saber qué número es.

Lo crucial de este argumento es que, incluso dándose una suma infinita, no dudamos, si los sumandos son pares, que el resultado será par. Por tanto, no es sólo que el infinito no afecte a la naturaleza de los números finitos que contiene, sino que ni siquiera afecta a la naturaleza de otros infinitos contenidos en él, a saber, la del resultado infinito de la adición de infinitos sumandos.

La suma infinita de números pares, si bien no converge a un valor específico, retiene la característica de ser par. Luego la infinitud no altera las propiedades fundamentales de los números, las cuales deben reputarse inmutables siempre, con independencia de que podamos o no alcanzar la determinación de un valor numérico concreto.

Esta conclusión aplicada al ámbito metafísico se traduce en negar al infinito en el reino de las causas así como lo hemos negado en el reino de las ideas. 

En el reino de las ideas el infinito no puede alterar las propiedades inmutables de los números, consistentes en ser pares o impares, por lo que la suma de todos los números pares arrojará un número par y no un infinito indeterminado, pues de lo contrario estaría dando como resultado un número (par) y un no-número (ni par ni impar). 

En el reino de las causas el infinito no puede destruir las propiedades inmutables de los entes temporales, consistentes en tener un comienzo, por lo que, si todos los elementos de una serie tienen comienzo, la suma total de los mismos también tendrá comienzo sin importar cuánto se prolongue dicha serie, la cual no llegará nunca a ser infinita para evitar la contradicción de que la suma total tenga y no tenga comienzo.

La adición de números, por grande que sea, no puede hacer de un número un no-número. La adición de eventos temporales, por grande que sea, no puede hacer de un ente con comienzo un ente sin comienzo. El axioma aquí implícito es que nada pasa del ser al no ser mediante la adición, sino que se pasa del ser al no ser necesariamente mediante la substracción.

Lo abstracto y lo concreto tienen algo en común: la forma, entendida en términos de la teoría hilemórfica. Todo lo que es participa de la unidad, luego tanto los números como lo real tienen en común el participar de la unidad.

I.

El argumento no se limita a tomar las conclusiones en torno a un conjunto finito y extrapolarlas a un conjunto infinito sin más razón que el hecho de que ambos sean conjuntos con elementos numéricos. Lo hace mediante una torsión, esto es, apagógicamente. Pues muestra que cuando las series son siempre pares, sin alternancia, el número de elementos de un conjunto infinito sólo puede ser par, destruyendo la indeterminación que el infinito introduce en otros supuestos. Y, valiéndose de esta verdad incontestable a modo de fulcro, establece que lo mismo ha de suceder cuando las series sean alternativamente pares e impares, pues tal no cambia la naturaleza del número (que, por la ley del tercio excluso, no puede ser más que par o impar), sino sólo su cognoscibilidad.

Por ello es correcto y verdadero decir que el infinito no puede hacer de un número un no-número, por más que lo suma en la neblina de la indeterminación, ni -por el mismo motivo- puede hacer de un comienzo un no-comienzo.

Si fuera potestad del infinito convertir una serie de números en indeterminada (ni par ni impar), sería una potestad que ejercería siempre, sin que se pudiera exceptuar ningún caso. Luego, si hallamos una excepción, como creo haberla hallado, podemos negar la mayor y refutar que el infinito tenga realmente dicha potestad. En este sentido, hay que distinguir entre la potestad del infinito para generar indeterminación, que es de tipo gnoseológico y debe admitirse, y su potestad para indeterminar entes reales, que es meramente imaginaria y debe reputarse falsa.

II.

El argumento es de inspiración pitagórica. Los números son los primeros principios de la realidad y, en cuanto tales, no pueden mudar de naturaleza ni tener accidentes. Por consiguiente, tanto los números como la suma de los elementos de los conjuntos finitos sólo pueden ser pares o impares independientemente de la finitud o infinitud de la serie en que se los incluya.

Aunque los números estén en una serie potencialmente infinita, la suma de cualesquiera de ellos será par o impar, ya que la infinitud potencial de la serie no conlleva que haya realmente un número infinito de elementos, sino la limitación infinita (insuperable) de cualquier conjunto de ellos.

Una razón adicional es que un ente que no guarda ninguna analogía con otro no puede ser causa del mismo ni introducir en él cambio alguno. Ahora bien, el infinito no es un número. Por consiguiente, no causa el número ni introduce en él ningún cambio, a saber, no lo libera de su sujeción a la ley del tercio excluso en lo referente a la paridad y la imparidad.

El infinito contiene a los números, los cuales no pueden ser algo mayor que el infinito y están negativamente determinados por dicha contención, sin que aquél pueda por lo demás ejercer sobre ellos ningún influjo ni penetrar en su índole.

El infinito, la totalidad hipotética de eventos de un pasado sin comienzo, no es un número, pero tampoco es ausencia de cantidad, sino una cantidad indeterminada. 

Una cantidad indeterminada de elementos discretos supone una paradoja: que sea indeterminada cuando la serie de órbitas alterna ciclos pares e impares y no sea indeterminada cuando la serie de órbitas es siempre par, sin alternancia. 

Si el infinito en acto no puede convertir en indeterminada una serie congruentemente par, que está dentro del infinito como un número en un no-número, también ha de ser impotente para hacerlo con una serie alternante par-impar, al componerse ambas series de números enteros. Sin embargo, el infinito en acto obra de esta manera e impide que podamos decidir si el número total contenido en el segundo escenario es par o impar. Pero es un obrar puramente ideal que no interfiere en el hecho de que el número total de órbitas, lo conozcamos o no, sea necesariamente par o impar, por la ley del tercio excluso.

En suma, el infinito en acto obra idealmente aplicado a elementos discretos, por lo que carece de toda virtualidad cuando se aplica a lo real. De donde se infiere que es falso que el mundo contenga un número infinito de acontecimientos discretos y posea una existencia eterna, sin comienzo.

Algacel utiliza un argumento para refutar la eternidad del mundo que podría exponerse del siguiente modo:

Supónganse dos esferas celestes, A y B. Por cada dos órbitas de A, la esfera B completa tres órbitas. Así, tenemos un patrón alternativamente impar y par de órbitas totales, a saber: 

Primer ciclo: 2 + 3 = 5. 

Segundo ciclo: 4 + 6 = 10. 

Tercer ciclo: 6 + 9 = 15. 

En un tiempo infinito donde no haya un comienzo para la serie, el número total de órbitas intermedias será par e impar o ni par ni impar. Esto conlleva una contradicción y es por ello imposible. En consecuencia, debe rechazarse que el mundo carezca de comienzo. 

Esta aporía radica en la naturaleza inconsistente de la noción de "infinito en acto". Pues el infinito es aquello a lo que siempre puede añadirse algo exterior, mientras que lo que está completamente en acto no puede crecer ni decrecer. 

Supónganse ahora dos esferas celestes, A y B. Por cada órbita de A, la esfera B completa otra órbita. Así, tenemos un patrón siempre par de órbitas totales, a saber: 

Primer ciclo: 1 + 1 = 2. 

Segundo ciclo: 2 + 2 = 4. 

Tercer ciclo: 3 + 3 = 6. 

En un tiempo infinito donde no haya un comienzo para la serie el número intermedio de órbitas será par. Luego puede afirmarse que, aunque el infinito no sea un número, un número infinito de eventos en un pasado infinito puede ser par o impar, según lo definamos. 

En el primer ejemplo que hemos presentado, comiences donde comiences y termines donde termines, el resultado será siempre par. Un número infinito en acto de eventos siguiendo este patrón contendrá un número infinito de conjuntos pares de órbitas y cero conjuntos impares. 

Dicho de otra manera, aunque el número total de órbitas después de un tiempo infinito no es ni par ni impar (porque el infinito no es un número entero), sí podemos decir que todos los resultados intermedios son pares, y por tanto, la colección infinita de estos resultados consiste exclusivamente en números pares. 

Ahora bien, en el supuesto en el que se alternan ciclos pares e impares de órbitas, la totalidad de los resultados intermedios es par e impar, lo que conlleva una contradicción. O, para ser más precisos, supone una violación de la ley del tercio excluso, por la que todo número sólo puede ser par o impar. 

Desde un punto de vista estrictamente lógico, si las contradicciones deben rechazarse siempre, y violar la ley del tercio excluso es violar el principio de no contradicción, también debe excluirse el infinito en acto aplicado a eventos discretos. Véase:

Un número sólo puede ser par o impar (tercio excluso). Si la serie de órbitas alterna resultados pares e impares y es infinita, se está afirmando una de estas dos proposiciones:  

1. El número total de órbitas intermedias es par e impar (violación del principio de no contradicción).  

2. El número total de órbitas intermedias no es ni par ni impar (violación de la ley del tercio excluso).

Ambas son absurdas. Pues ¿se da un número de órbitas o ningún número? Se da un número. ¿Puede un número no ser par ni impar? No puede. ¿El número total de órbitas intermedias en una serie infinita que alterne ciclos pares e impares de órbitas será par o impar? Ni par ni impar. Pero esto es imposible. Por tanto, no puede darse una sucesión infinita en acto de eventos donde se observe tal alternancia. Por consiguiente, si en el universo se alternan series pares e impares, es imposible que carezca de comienzo.

Si, por el contrario, el mundo fuera concebido como un continuo, sin elementos discretos como el número de órbitas del ejemplo, la aporía quedaría resuelta. Pero es una solución todavía más absurda que la dificultad que trata de zanjar, ya que un mundo sin intervalos es un mundo sin número, proporción u orden, esto es, un puro caos.

Este argumento de Pecham contra la eternidad del mundo, el último que expondré de este autor, es especialmente brillante:

Supongamos un mundo con un pasado infinito, que nunca ha empezado a ser, y un futuro infinito, que nunca cesará de ser. Tomemos un instante en cualquier día y llamémoslo A. Podremos referirnos a todo el tiempo que precede al instante A como "Pasado A", y a todo el tiempo que le sucede como "Futuro A". Semejantemente, tomemos otro instante en un día posterior y llamémoslo B. Refirámonos, pues, a todo el tiempo que precede al instante B como "Pasado B", y a todo el tiempo que le sucede como "Futuro B". Si superponemos el Pasado A al Futuro A, ninguno excederá al otro, ya que ambos son infinitos y no hay razón para presuponer un mayor número de días pasados que un mayor número de días futuros. Por el mismo motivo, el Pasado B y el Futuro B serán iguales entre sí. Sin embargo, el Pasado B es mayor que el Pasado A, en tanto que éste es una parte de aquél. Y, dado que el Pasado A y el Futuro A son iguales, se sigue que el Pasado B es también mayor que el Futuro A. Ahora bien, el Pasado B y el Futuro B son iguales. Por consiguiente, el Futuro B es mayor que el Futuro A. Pero esto es imposible, dado que el Futuro B, que nace de un instante posterior a A, es una parte del Futuro A. Como de este razonamiento resulta que la parte es superior al todo, lo que constituye un absurdo, debe concluirse que la premisa por la que llegamos a esta aporía, a saber, la eternidad del mundo, es falsa.

Pecham, nuevamente contra la eternidad del mundo:

Todo el pasado fue futuro. La totalidad del pasado es pasado. Luego, en un momento u otro fue futuro. Mas cuando todo el tiempo fue futuro, estaba al comienzo de su ser y duración, al carecer de pasado. Por tanto, el tiempo tuvo un inicio y el universo un comienzo.

Para refutar el argumento debería sostenerse que la primera premisa, "Todo pasado fue futuro", es falsa. Pero no parece que lo sea. Un pasado que no haya sido antes futuro ha estado siempre en acto. Sin embargo, ésta no es la naturaleza del tiempo, el cual pasa de la potencia al acto, como sucede también con el movimiento.

Pecham razona del siguiente modo contra la eternidad del mundo:

Si la materia es simple, no puede componer nada, ya que carecería de extensión.

Si la materia es compuesta, no existe por sí misma.

Sin embargo, todo lo material está compuesto por materia.

Por tanto, la materia no es simple, sino compuesta (a saber, compuesta por la forma).

Por tanto, la materia no existe por sí misma.

Por consiguiente, el mundo no es eterno.